ENG 03353 - Medições Mecânicas - Prof. Milton A. Zaro
Aula Nº 2 - Análise e Tratamento Estatístico de Dados


3. Probabilidades

O termo probabilidade é mais usualmente empregado quando está sendo analisada uma distribuição contínua do comportamento de um certo fenômeno. Provavelmente, o estudo das probabilidades começou no século XVII, nos jogos de roleta e cartas.

3.1 - Distribuição Discreta
3.1.1 - Binomial
Este tipo de distribuição assume que sucessos n dos N eventos independentes, tem possibilidade de sucesso p, dado pela expressão;


E o desvio-padrão é dado por:


Ex.: uma moeda é lançada 3 vezes; calcule a probabilidade de ocorrência de zero, uma, duas ou três coroas, na moeda, nesses três lançamentos. Solução: a distribuição binomial aplica-se a esse caso, uma vez que a probabilidade de cada teste com a moeda ser independente dos outros testes. A probabilidade de cara em cada jogada e p = ½ e N = 3, enquanto n pode assumir os valores 0, 1, 2 e 3.









A soma 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1, como era esperado, já que não existem outras possibilidades. A distribuição binomial aplica-se a um intervalo discreto (com repetiçã de experimentos); quando o interesse está associado a um intervalo contínuo (não só de tempo, mas comprimento, superfície,..), usa-se outro tipo de distribuição, como a de Poisson, por exemplo. É fácil observar que (1-p) é a probabilidade de fracassos. Caso N seja muito grande e p seja muito pequeno, o limite da distribuição binomial (portanto, com N tendendo a infinito e p tendendo a 0), de modo que Np = a = constante, é chamado distribuição de Poisson.

3.1.2 - Poisson
A distribuição de Poisson é aplicada, por exemplo, ao cálculo de decaimento radiativo. No caso de material radiativo, os átomos não sofrem decaimento todos ao mesmo tempo; existe uma probabilidade de decaimento em certo intervalo de tempo, que é dada pela expressão (9) .

e o valor médio é Np = a .



Outros exemplos de situação que obedecem uma distribuição de Poisson:
  • número de defeitos por m de tecido produzido numa fábrica;
  • número de pessoas que se dirigem ao caixa de um banco num dado intervalo de tempo;
  • número de carros que passa por um pedágio num dado tempo.

Ex.: suponha que o LMM receba 10 chamadas telefônicas por minuto. Pergunta-se: a probabilidade de não ocorrer nenhuma chamada em 1 minuto?
Sol.: p = 1 minuto; Np=a e a = 10x1

P[(x=0, a = 100)] =





3.1.3 - Hipergeométrica
Neste tipo de distribuição, opera-se com amostragem sem reposição, isto é, para eventos dependentes. A probabilidade de ocorrência é dada por:


com x = {1,2,3,4...n}.

Ex.: uma caixa contém 5 bolas azuis e 4 vermelhas; um experimento consiste em retirar uma bola, anotar sua cor, não repondo a bola da caixa. Determinar a probabilidade de serem extraídas 2 bolas azuis em 4 tentativas. Sol.: xX= 2; n = 4; n - x = 2; N- b= 4; b = 5; N = 9

P[(X=2)] =


Como,
C (5,2) = 5!/ (2!3!) = 10
C (4,2) = 4! / (2!2!)= 6
C (9,4) = 9! / (4!5!) = 126

Tem-se que :
P[(X=2)] = 10x6/126 = 10/21

Pois,



3.1.4 - Distribuição normal ou gaussiana
Suponha que você trabalha numa empresa e recebe um lote de peças cuja espessura precisa medir; ao realizar essas medidas, encontra um conjunto de valores que tendem a concentrar-se em torno de um determinado valor e a curva de distribuição encontrada se apresenta na forma de um sino, perfeitamente simétrica em relação ao eixo das ordenadas. Isso ocorre quando o número de medidas e as componentes de erro (acidentais, aleatórios) são grandes. Ou seja, quando uma medida é realizada, o valor está sujeito a inúeros pequenos erros aleatórios, que fazem com que o valor lido possa ser muito maior ou muito menor do valor correto, dependendo do modo como se combinam.
Caso a medida que esteja sendo realizada seja designada por x, a distribuição gausseana fornece a probabilidade de que a medida caia entre:

que é escrita :



Essa equação pode ser normalizada, de modo que a área total sob a curva seja = 1. Ou seja,


Analisando a função de distribuição gausseana, é fácil notar que a máxima probabilidade ocorre quando               , e o valor da probabilidade é:



É possível examinar a distribuição gausseana para determinar a probabilidade de que um conjunto de pontos caia dentro de um desvio especificado em relação ao valor médio dos dados experimentais. A possibilidade de que a medida caia dentro de uma faixa x1 da média é:





A equação (14) pode ser escrita:                               (15)




A função erro gausseana normal é dada por:


Valores da função erro gausseana normal (17) e da integral descrita na equação (16) podem ser encontradas em tabelas nos livros de Estatística.


Medidas de Posição ou Tendência Central Intervalo de Confiança